MODELO M/G/1

Es un sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, distribución general de los tiempos de servicio (para el cual se supone conocida la desviación estándar), un canal de servicio y una línea de espera.

En este modelo las llegadas se distribuyen de acuerdo con la distribución de Poisson, al igual a los casos anteriores, pero los tiempos de servicio no necesariamente se distribuyen de acuerdo con la distribución exponencial negativa. Si consideramos el caso en que solo existe un solo canal, estamos considerando el caso M / G / 1, es decir, llegadas de tipo Markov, tiempo de servicio general y un canal de servicio.

Procesos de Conteo

Un proceso estocástico se dice un proceso de conteo si N(t) representa el número de eventos ocurridos hasta el instante t. Un proceso de conteo debe satisfacer:

N(t) es un valor entero
Si sSi sUn proceso de Poisson con razón es un proceso de conteo que satisface las siguientes condiciones:

N(0) = 0
Es de incrementos independientes.

El número de eventos que ocurren en el intervalo de largo t tiene una distribución de Poisson con media t, por ejemplo:

El problema a modelar consiste en el comportamiento dinámico de algunas variables de interés de un sistema de servicio de clientes. Las cantidades de interés que se consideran en el modelo son:
S : número de servidores.
n : número de clientes en el sistema.
N : número máximo de clientes en el sistema.
L : número promedio de clientes en el sistema.
Lq : número promedio de clientes esperando en la cola.
W : tiempo promedio de un cliente en el sistema.
Wq : tiempo promedio de un cliente esperando en el sistema.

Además se puede definir la razón promedio de llegada de clientes por: Entonces se pueden plantear las fórmulas Littles:
El sistema M/G/1
Notación
M : llegadas de Poisson con razón lambda
G : distribución general de servicio
1 : un servidor
En este modelo los clientes serán atendidos por orden de llegada FIFO(first input, first output). Además no existirán limitaciones en cuanto a la cantidad de clientes que el sistema soporta (pueden ser atendidos infinitos clientes). Definiremos el trabajo en el sistema a la legada de un cliente en un instante t como la suma de los tiempos remanentes de servicio de todos los clientes en el sistema en ese instante. V denotará el tiempo promedio de trabajo en el sistema. Sea s el tiempo de servicio y Wq* el tiempo que un cliente debe esperar en la cola. Entonces:

En general, el tiempo de servicio será independiente del tiempo en la cola, por ejemplo:

Como el sistema es FIFO se cumple que Wq=V, por lo que:

donde E[S] y E[s2] son los dos primeros momentos de la distribución de servicio. Entonces es posible obtener las siguientes cantidades de interés:


Finalmente, se muestra un ejemplo tipo y su resolución aplicando las formulas de este modelo:

PROBLEMA TIPO SOBRE MODELO M

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